Diferentes modelos foram propostos para descrever a trajetória de desenvolvimento numérico-aritmético inicial das crianças (Fritz et al., 2013, 2019; Krajewski, 2008; Von Aster & Shalev, 2007). Apesar de semelhantes quanto à estrutura básica de aquisição numérica conceitual pelas crianças, os modelos se diferem em relação à hierarquia em que os conceitos são adquiridos.

No presente artigo, o modelo de Fritz et al. (2013, 2019) será utilizado como referência, por ser um modelo empiricamente validado que descreve a aquisição dos conceitos numéricos-aritméticos em uma trajetória formada por seis níveis hierarquicamente organizados (Balt et al., 2019; Fritz et al., 2013, 2019). Tais níveis são caracterizados pelos conceitos adquiridos pelas crianças em sua trajetória de aprendizagem e permitem a intuição das estratégias iniciais de resolução de problemas aritméticos simples (Balt et al., 2019). Por essa razão, o Modelo de Trajetória do Desenvolvimento do Conceito de Número é um caminho possível para compreender os processos cognitivos envolvidos na resolução de problemas com estruturas semânticas distintas.

A trajetória de aprendizagem proposta por esse modelo se inicia por volta dos quatro anos de idade e percorre uma série de seis níveis, que representam os conceitos numéricos-aritméticos-chave (Balt et al., 2019; Fritz, et al., 2013). Ao reconhecer o nível atual de uma criança, é possível identificar o raciocínio que ela é capaz de empregar para resolver problemas aritméticos narrativos, além das estratégias que ela já consegue implementar, a partir do seu conhecimento conceitual sobre os números. Os cinco primeiros níveis do Modelo de Trajetória do Desenvolvimento do Conceito de Número serão detalhadamente descritos a seguir e, na sequência, será delimitado um paralelo entre estes e a dificuldade dos diferentes tipos de problemas aritméticos narrativos. O sexto nível do modelo refere-se ao raciocínio multiplicativo e como não é o foco do artigo, não será aqui explorado.

A hierarquia entre as categorias dos problemas aritméticos narrativos tem importantes repercussões para o planejamento curricular. Ao observar como as crianças resolvem problemas conforme sua estrutura semântica, é possível obter pistas sobre atrasos na aquisição das habilidades numéricas-aritméticas, bem como do nível de desenvolvimento que a criança se encontra na trajetória de aprendizagem (Clements & Sarama, 2014, 2021; Sarama & Clements, 2009; Krajewski, 2008).

A hierarquia de dificuldade das categorias de problemas narrativos foi investigada por diferentes autores (Carpenter & Moser, 1982; Gomides et al., 2021; Peake et al., 2015; Riley et al., 1983; Clements & Sarama, 2021). Os primeiros problemas resolvidos pelas crianças são problemas de ação com resultado desconhecido (Carpenter & Moser, 1982; Gomides et al., 2021; Peake et al., 2015; Clements & Sarama, 2021). Esses problemas são mais fáceis porque podem ser resolvidos por modelação direta das ações e/ou estratégias baseadas na contagem (Carpenter & Moser, 1982; González & Espinel, 2002; Clements & Sarama, 2021). A modelação direta das ações consiste em utilizar manipulativos para representar as quantidades e as manipulações envolvidas nos problemas narrativos.

Ao estabelecer um paralelo com o Modelo de Trajetória do Desenvolvimento do Conceito de Número, crianças do Nível I não conseguem modelar as ações dos problemas, e, por isso, não conseguem resolvê-los. Nesse nível, a função do número está intrinsecamente relacionada à contagem. Sendo assim, as crianças são capazes apenas de enumerar um conjunto de objetos. Quando terminam de contar os objetos, o número se esvai junto com a ação (Fritz, et al., 2013, 2019). Assim, as crianças do Nível I não conseguem reunir ou separar dois conjuntos que são apresentados na forma de numerais verbais ou arábicos. Os problemas podem ser resolvidos somente quando o total é representado por meio de manipulativos, e, portanto, a criança consegue encontrar a resposta por meio da contagem dos elementos. 

Crianças do Nível II conseguem resolver problemas de ação e de parte-parte-todo, ambos apenas quando envolvem resultados desconhecidos. Neste nível, as crianças já conseguem realizar operações simples de adição e subtração, utilizando a contagem e/ou modelação direta das ações. Elas comumente utilizam representações concretas e gestuais, como os dedos, bem como a ordem dos números recém compreendida, como estratégias para representar as quantidades e contar todos os elementos representados nos problemas narrativos (Balt et al., 2019; Carpenter & Moser, 1982). Por essa razão, crianças do Nível II também são chamadas de “contadoras”. Elas ainda não compreendem o que significa adicionar e subtrair, em termos de manipulação dos conjuntos. Elas são dependentes, na maioria das vezes, de materiais concretos ou de seus dedos para a resolução dos problemas. Além disso, crianças desse nível conceitual ainda não compreendem a relação inversa entre as operações de adição e subtração. Por conseguinte, elas não modelam os problemas de forma abstrata, mas os resolvem apenas como são apresentados. Em problemas de inversão, por exemplo, envolvendo a palavra “ganho”, mas requerendo operações de subtração, a tendência é que a criança utilize equivocadamente a adição para resolvê-lo. 

Assim como no Nível II, crianças do Nível III permanecem resolvendo problemas de ação e de parte-parte-todo com resultado desconhecido. Entretanto, a diferença entre as crianças desses níveis se refere ao raciocínio empregado para a resolução dos problemas. Um passo importante no Nível III é a compreensão do conceito de cardinalidade, isto é, que o último numeral contado representa a quantidade de elementos do conjunto. Este é o momento em que as crianças compreendem que o número é uma unidade composta (6 = ******). Portanto, elas começam a entender que um todo pode ser dividido em partes, embora ainda não saibam como fazer para modelar o problema quando uma das partes está ausente. O conceito de cardinalidade possibilita a compreensão da adição e da subtração enquanto união e separação de conjuntos. Além disso, um ganho importante no Nível III se refere à estratégia de contar “a partir” (Le Corre et al., 2006). As crianças não precisam mais contar a quantidade inicial e a quantidade de mudança desde o início, pois compreendem que a quantidade que um número representa não muda, a menos que haja acréscimo ou retirada de elementos. Elas passam a guardar a quantidade inicial e contar a partir dessa, até alcançar a quantidade desejada. O último numeral enunciado corresponde ao resultado do problema. As crianças também podem aprender a contar a partir do maior adendo, diminuindo os passos da contagem e reduzindo as chances de erro (Clements & Sarama, 2021).

Na sequência, as crianças aprendem a resolver problemas com a quantidade intermediária ausente (Clements & Sarama, 2021), como os problemas de ação com mudança desconhecida e parte-parte-todo com parte desconhecida. Os problemas de quantidade intermediária ausente são mais complexos porque exigem a construção de novas representações dos problemas, conectando o esquema parte-parte-todo às operações aritméticas (Langhorst et al., 2012). Outros autores também encontraram que os problemas que envolvem o esquema parte-parte-todo apresentam uma dificuldade intermediária (Riley et al., 1983; Gomides et al., 2021). 

Crianças no Nível IV conseguem resolver problemas de ação com quantidade de mudança desconhecida, bem como problemas de parte-parte-todo com uma das partes desconhecidas. Neste nível, os números passam a ser entendidos como uma relação entre três conjuntos: duas partes que formam um todo. Isso permite a compreensão da decomposição flexível dos números, bem como da reversibilidade entre adição e subtração. As crianças agora quando conhecem duas das quantidades, conseguem manipulá-las para resolver o problema, independentemente de ser o todo ou uma das partes ausente. 

Crianças do Nível IV conseguem utilizar da decomposição como estratégia para resolver os problemas. Elas passam a utilizar fatos já adquiridos para resolver novos problemas, ou seja, aplicam composições numéricas familiares em novas situações (Carpenter & Moser, 1982). Por exemplo, a criança pode resolver um problema como 15 - 9 com o conhecimento de que pode subtrair dez e acrescentar mais um. Assim, 9 = 10 - 1 e 15 - 10 + 1 = 6.  Além disso, crianças deste nível compreendem a reversibilidade entre adição e subtração e, assim, conseguem selecionar de forma eficiente qual operação deverá ser utilizada para resolver diversos tipos de problemas. Elas podem usar cálculos de adição em problemas que envolvem diminuição na quantidade inicial, bem como cálculos de subtração em problemas que envolvem aumento na quantidade inicial (Carpenter & Moser, 1982). Assim, crianças nesse nível já conseguem resolver problemas que exigem a inversão. Ainda que os problemas de quantidade inicial desconhecida envolvam a compreensão do esquema parte-parte-todo, eles são mais complexos para as crianças, porque envolvem uma manipulação mental das quantidades mais abstratas, e por isso, muitas vezes, crianças de Nível IV ainda não conseguem resolvê-los. 

  Os problemas mais desafiadores são os que envolvem diferentes métodos e combinações de estratégias, como a decomposição e a inversão, para chegar às respostas dos problemas (Clements & Sarama, 2021; Moretti & Brandt, 2014; Nunes & Bryant, 2015; Robinson, 2019). Os problemas aditivos mais difíceis são os de comparação e os de ação com quantidade inicial desconhecida (Gomides et al., 2021; Moretti & Brandt, 2014). Esses problemas envolvem situações para as quais as crianças não possuem esquemas (Verschaffel & Corte, 1997). Enquanto os problemas de ação são resolvidos por quase 100% das crianças de 6 a 8 anos, os problemas de comparação são resolvidos por apenas 30% das crianças desta mesma faixa etária (Verschaffel & Corte, 1997).

Crianças do Nível V conseguem resolver problemas de comparação, tanto para mais quanto para menos, uma vez que compreenderam o princípio da equidistância da linha numérica. Elas conseguem usar a nova função do número para mensurar a distância entre outros dois números envolvidos nos problemas. A partir do Nível V, as crianças conseguem também resolver problemas de ação com quantidade inicial desconhecida. Esses problemas necessitam de uma compreensão mais aprofundada do esquema parte-parte-todo, precisando assim de prática e aprofundamento dos conhecimentos de Nível IV para que as crianças consigam resolvê-los.

Os problemas de equalização por acréscimo, apesar de exigirem um raciocínio mais abstrato, também podem ser resolvidos por meio da contagem (Carpenter & Moser, 1982; González & Espinel, 2002; Verschaffel & Corte, 1997). Por isso, comumente são resolvidos com sucesso por crianças de Nível II, sobretudo quando a diferença é explicitamente solicitada no problema. Entretanto, quando os problemas de equalização não informam explicitamente a diferença a ser encontrada, eles se tornam mais desafiadores e abstratos. Nesse caso, os problemas envolvem a integração de diferentes estratégias e conceitos, sendo resolvidos somente por crianças que já estão mais avançadas na trajetória de desenvolvimento (Fuson, 2009; Gomides et al., 2021).

 Portanto, o diferencial do Nível V se refere à utilização mais madura das estratégias de resolução de problemas, principalmente pelas habilidades de mensurar a distância entre as quantidades utilizando a linha numérica equidistante. Todavia, é importante compreender que as estratégias para a resolução de problemas não são fixas. As estratégias mais simples não são completamente abandonadas quando as crianças avançam na trajetória do conceito de número. O que acontece é que as crianças incorporam estratégias mais sofisticadas e passam a usá-las com maior frequência. Mesmo adultos, quando cognitivamente sobrecarregados, podem recorrer a estratégias mais básicas para resolver problemas, como a contagem. Isso demonstra a flexibilidade na utilização de diferentes estratégias, que podem variar conforme o contexto e a sobrecarga cognitiva.

A Tabela 2 resume os conceitos e habilidades correspondentes a cada nível do Modelo de Trajetória do Desenvolvimento do Conceito de Número, realizando um paralelo com a estrutura semântica e as estratégias de resolução dos problemas aritméticos narrativos.

Tabela 2

Nível	Nome	Conceitos/Habilidades	Estratégias de resolução dos problemas aritméticos narrativos	Estrutura semântica
I	Contagem	- A função do número é a contagem. - Recitação mecânica da sequência numérica sem compreensão do significado. - Correspondência um para um entre numerais e objetos durante a contagem. - Enumeração precisa de pequenos conjuntos de objetos.	- Resolução de problemas somente quando a quantidade total é fornecida por meio de manipulativos.	Crianças deste nível ainda não conseguem resolver problemas apresentados somente na forma verbal.
II	Linha numérica ordinal	- Representação dos números em uma ordem fixa com intervalos não especificados. - Comparação de quantidades através da posição na linha numérica ordinal. - Reconhece antecessores e sucessores de acordo com a posição na sequência numérica. - Realização de operações aditivas com números pequenos.	- Dependência das estratégias de contagem e de materiais concretos para a resolução dos cálculos. - Contagem de todos os elementos, sempre começando do início. - Resolução de problemas através da contagem de todos os elementos, com modelos.	- Problemas de ação com resultado desconhecido. - Problemas de parte-parte-todo com todo desconhecido.
III	Cardinalidade	- Ligação do número com a quantidade que ele representa. - Número como unidade composta. - Operações aditivas como adição ou retirada de elementos de um conjunto.	- Resolução de problemas através da contagem a partir de um número, seja o primeiro adendo, seja o maior adendo. - Compreensão da composição aditiva.	- Problemas de ação com resultado desconhecido. - Problemas de parte-parte-todo com todo desconhecido.
IV	Relações entre parte-parte-todo	- Raciocínio parte-parte-todo. - Número pode ser composto e decomposto de diferentes formas. - Reversibilidade entre adição e subtração.	- Resolução de problemas através da decomposição dos números. - Estratégias aditivas em problemas de subtração e estratégias subtrativas em problemas de adição. - Manipulação flexível das quantidades.	- Problemas de ação com quantidade de mudança desconhecida. - Problemas de parte-parte-todo com parte desconhecida.
V	Linha numérica com intervalos equidistantes	- Números como representação de intervalos da sequência numérica. - Os números são independentes da contagem.	- Linha numérica como estratégia para resolução de problemas. Operações na linha numérica realizadas a partir de qualquer número e em ambas as direções.	- Problemas de ação com a quantidade inicial desconhecida. - Problemas de parte-parte-todo com a parte inicial desconhecida. - Problemas de comparação.

Nota. (cf. Balt et al., 2019; Freitas et al., 2022; Fritz et al., 2013).

Portanto, unir os paradigmas teóricos do Modelo de Trajetória do Desenvolvimento do Conceito de Número e da estrutura semântica fornece informações relevantes para a intervenção na resolução de problemas aritméticos narrativos, porque elucida a ordem que eles devem ser ensinados e o que deve ser observado durante o ensino.